Filtros de média móvel são simples e não requerem muito poder computacional para serem executados, em sua forma mais básica. Em princípio, a média móvel pode ser descrita como:
sendo k = [a, a1, a2 ,..., an], a média móvel de x elementos será dada por
 mx = [(a + a1 + ... + ax) / x , (a1 + a2 + ... +a(x+1))/x, ..., (...+an)/x]

Exemplificando, para um conjunto de dados a=[1,3,5,7], o conjunto das médias móveis de dois elementos de a será m2 = [ 2, 4, 6 ]. Para o mesmo conjunto a, o conjunto das médias móveis de 3 elementos será: m3 = [4.5, 7,5].

Após estes exemplo simples, passaremos à nossas análises. Para tal utilizaremos como sinal original o ciclo alto de uma senóide com freqüência de 60Hz e pico de 162VAC, modelo de uma rede brasileira com tensão nominal de 115V.

Nós efetuaremos 32 amostragens durante o semiciclo, em intervalos regulares de 260 uS. O circuito de condicionamento de sinais foi projetado para uma tensão de pico máxima de 300Vac. Portando, sua função de transferência será:
  f(x) = (5 * x) / 300
considerando que o conversor A/D possui resolução máxima em 5V.

Para ilustrar, plotamos estas duas ondas:

Rede:

Amostragem:

O valor RMS calculado das duas ondas são 147.6V e 2.46V, respectivamente.

Agora adicionaremos alguns ruídos aleatórios nas amostras, com amplitude razoável, a fim de termos uma amostragem ruidosa para trabalhar:

Calculando o valor RMS da nossa amostragem com ruído, encontramos 2.44V.

Agora aplicaremos a média móvel com dois e quatro elementos, com o intuito de verificar o quão eficiente seria este filtro passa-baixa com uma quantidade pequena de amostras, como a do nosso experimento.

A seguir temos o gráfico combinado das 4 curvas:

Os pontos marcados com "x" são a nossa amostragem ideal. A linha verde é a nossa amostragem com ruído e as linhas vermelha e azul são as médias móveis com 2 e 4 elementos, respectivamente.

Nota-se, portanto, uma atenuação dos picos do ruído nas linhas da média móvel. Também é válido ressaltar o deslocamento no eixo x que a onda sofre, proporcional à quantidade de elementos utilizados para calcular a média móvel. Para ficar mais visível as diferenças entre os picos, alinhamos os eixos x nas médias móveis:

Os resultados sob os valores RMS são os seguintes:
y_amost = 2.4606275
y_ruido   = 2.4457351  (diferença    0.0148923)
mm2      = 2.4611507  (diferença  - 0.0005233)
mm4      = 2.5220352  ( diferença - 0.0614078)

E no valor médio:
y_amost = 2.1785871 
y_ruido   =  2.1161859 (diferença   0.0624012)
mm2      = 2.18445      (diferença - 0.0058628)
mean_2(mm4)  = 2.3104971  (diferença - 0.1319100)

É evidente pelo gráfico que o valor de pico também foi reduzido significamente.

 
No intuito de analizar a taxa de perda das informações, calculamos também o desvio padrão:
y_amost = 1.1621762   
y_ruido   = 1.2457422   (diferença - 0.0835660)
mm2      = 1.1977315   (diferença - 0.0355552)
mm4      = 1.1935235   (diferença - 0.0313473)


Conclui-se, portanto, que a utilização da média móvel em aplicações com poucas amostragens pode ser satisfatória, caso o filtro seja adequadamente dimensionado. Em nossos experimentos o filtro de média móvel com 2 elementos resultou na atenuação do ruído significativamente, mantendo os valores médio 10 vezes e o RMS 28 vezes mais próximos do valor ideal, em comparação com o sinal ruidoso sem nenhum filtro aplicado. Porém, a utilização de uma média móvel com 4 elementos propiciou resultados piores, no valor médio e RMS, que a não aplicação de filtro algum. Por isso é importante observar que o dimensionamento do filtro deverá levar em consideração o número máximo de amostras disponíveis para os cálculos, uma vez a quantidade de amostras omitidas no total será proporcional à quantidade de amostras utilizadas no filtro da média móvel.

Como citado anteriormente, o filtro de médias móveis necessita de pouco poder computacional, ao utilizar-se somente de adições e divisões. Se estas divisões forem potência de 2, é permitada a utilização sem grande esforço desta técnica em microcontroladores simples de 8bit, utilizando o recurso tradicional de soma e, para as divisões, deslocamentos de bit para a direita.


Roberto Alcântara
roberto@eletronica.org